二次ベジェ曲線の対称性
- 2023.07.28
- ベジェ曲線
二次ベジェ曲線 二次ベジェ曲線の式は以下の通りです。 $$ B(t)=(1-t)^2P_0+2(1-t)tP_1+t^2P_2 \tag{1} $$ よって、\(x\)、\(y\)はそれぞれ $$ \begin{split} \begin{align} &x(t)=(1-t)^2P_{0x}+2(1-t)tP_{1x}+t^2P_{2x}\\ &y(t)=(1-t)^2P_{ […]
Math
二次ベジェ曲線における曲率半径の極小値
- 2023.07.26
- ベジェ曲線
二次ベジェ曲線の微分 二次ベジェ曲線の式は以下の通りです。 $$ B(t)=(1-t)^2P_0+2(1-t)tP_1+t^2P_2 \tag{1} $$ よって、\(x\)、\(y\)はそれぞれ $$ \begin{align} &x(t)=(1-t)^2P_{0x}+2(1-t)tP_{1x}+t^2P_{2x} \tag{2}\\ &y(t)=(1-t)^2P_{0y} […]
B-スプライン曲線の導関数
- 2023.05.20
- スプライン曲線
一次導関数 n次B-スプライン曲線 n次B-スプライン曲線の式を以下に示します。mはノットベクトルの数です。 $$ \begin{align} \begin{split} &S(u)=\sum_{j=0}^{m-n-2}P_jb_{j,n}(u)\\\\ &b_{j,0}(u):=\begin{cases} 1 \hspace{10pt} if \hspace{10pt} u_ […]
二次スB-プライン曲線の最接近点（展開した式を利用）
- 2023.05.14
- スプライン曲線
前回求めた式を利用して制御点が5点の場合における二次B-スプライン曲線の最接近点を求めます。 式の導出 前回求めた二次B-スプライン曲線の式は $$ \begin{align} S&(u)=au^2+bu+c \tag{1}\\\\ a&=9b_{2,0}P_0+(9b_{1,0}-\frac{27}{2}b_{2,0}+\frac{9}{2}b_{3,0})P_1\\\\ […]
二次B-スプライン曲線の最接近点（式の展開）
- 2023.05.13
- スプライン曲線
式の展開 制御点が5点の二次B-スプライン曲線の式は $$ S(u)=\sum_{j=0}^{4}P_jb_{j,2}(u) \tag{1} $$ $$ \begin{align} &b_{j,0}(u):=\begin{cases} 1 \hspace{10pt} if \hspace{10pt} u_j\leq u\lt u_{j+1}\\ 0 \hspace{10pt} othe […]
ベジェ曲線の最接近点
- 2023.05.03
- ベジェ曲線
任意の座標からベジェ曲線上の最も近い点をニュートン法を用いて求めました。 ニュートン法 ニュートン法の方程式は $$ x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$ です。これを繰り返し求めることで\(f(x) = 0\)となる\(x\)が求まります。しかし、条件によっては解に収束しないことがあります。 ベジェ曲線との距離 4点を通る三次ベジェ曲線で求めた式を […]
4点を通る三次ベジェ曲線
- 2023.04.30
- ベジェ曲線
三次ベジェ曲線は二つの端点と二つの方向点によって形が決まります。この場合、ベジェ曲線は方向点を通りません。そこで、二つの端点とその間にある二つの点から方向点を決定し、この方向点を用いて4点を通る三次ベジェ曲線を求めました。 式 三次ベジェ曲線は以下の式で表されます。\(C_0\)及び\(C_3\)は端点、\(C_1\)及び\(C_2\)は方向点です。 $$ \begin{align} […]